一、分段函数的定义和理解

1、函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$与$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。

2、对函数的理解

对函数概念的理解，主要抓住以下三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；

（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

注：① 判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于$x$的每一个确定的值，$y$是否有唯一确定的值与其对应。

② 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

3、分段函数

分段函数，就是对于自变量$x$的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

二、分段函数的相关例题

下列给出的函数是分段函数的是___

① $y=\begin{cases}x^2+1,1<x\leqslant5,\\2x,x\leqslant1;\end{cases}$

② $y=\begin{cases}x+1,x∈\mathbf{R},\\x^2,x\geqslant2;\end{cases}$

③ $y=\begin{cases}2x+3,1\leqslant x\leqslant5,\\x^2,x\leqslant1;\end{cases}$

④ $y=\begin{cases}x^2+3,x<0,\\x-1,x\geqslant5。\end{cases}$

A．①② B．①④

C．②④ D．③④

答案：B

解析：因为②③两个函数的自变量分别在段与段之间有交集，即②③不是分段函数，①④两个函数的自变量分别在段与段之间没有交集。即①④是分段函数，故选B。