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一元三次方程因式分解方法 具体步骤是什么

时间:2024-10-08作者:占有欲一键复制全文保存为WORD
专题:

一元三次方程是形如 ax2+cx+d=0(其中a≠0)的方程。因式分解是指将一个多项式表示为若干个因数乘积的形式,对于一元三次方程,因式分解可以帮助求解方程的根,并理解方程的性质。

一元三次方程因式分解方法是什么

一、凑系数法

凑系数法是比较常用的因式分解方法,其基本思路是通过凑出一些特定的项,使得多项式可以被因式分解。

观察:观察多项式的系数,寻找一些可以凑出特定项的系数。

变形:将多项式进行变形,凑出特定的项。

分解:利用特定的因式分解公式进行因式分解。

例如,考虑方程x2+2x=0。可以将方程变形为x2+2x-1=-1,观察变形后的方程,可以凑出(x-1)2-1=(x-1+1)(x-1-1)=x(x-2)=0。因此,方程x2+2x=0的因式分解为x(x-2)=0。

二、降幂法

降幂法是将三次项化为二次项,然后再进行因式分解的方法。

转化:将三次项化为二次项。

分解:利用二次方程的因式分解公式进行因式分解。

例如,考虑方程x^3-4x^2+7x=0。可以将方程变形为x^3-4x^2+7x-4=-4,观察变形后的方程,可以将三次项化为二次项,即(x-2)^2-4=(x-2+2)(x-2-2)=x(x-4)=0。因此,方程x^3-4x^2+7x=0的因式分解为x(x-4)=0。

三、公式法

公式法是利用卡尔丹公式或其他公式直接求解方程的根,然后根据根与系数的关系进行因式分解的方法。

求解:利用卡尔丹公式或其他公式求解方程的根。

分解:根据根与系数的关系进行因式分解。

例如,考虑方程x2-9x-5=0。可以利用卡尔丹公式求解该方程,得到其根为x1=1、x2=-2、x3=-1。根据根与系数的关系,可以写出方程的因式分解为(x-1)(x+2)(x+1)=0。

四、特殊方法

对于一些特殊形式的方程,可以使用一些特殊的方法进行因式分解。

代数法:对于某些特殊形式的一元三次方程,可以尝试用代数方法进行因式分解。例如,如果方程可以表示为x^3-3x^2+3x-1=0,可以尝试将其重写为(x-1)^3=0,从而得出x=1是方程的实根。

韦达定理:对于形如x^3+px+q的方程,可以利用韦达定理进行因式分解。

分组分解法:通过在方程中“加项”、“减项”、“拆项”的方法,将一元三次多项式方程分解成两组多项式和的形式,然后对每一组进行因式分解,再提取公因式,最后整理为三个一次因式乘积、或者是两个因式(一个一次因式与一个两次因式)乘积。

整除法:对于一元三次多项式,找到公因式后整除公因式。一般先假设是(x-1)或者是(x+1),这是因为对于一元三次多项式来说,一般会用到立方和公式,整除一个一次因式,或者整除一个两次因式。

需要注意,因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些简单的三次方程适用。对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解。

一元三次方程因式分解的例子

以下是一个一元三次方程因式分解的例子:

考虑方程x3−6x2+11x−6=0。

首先,我们尝试寻找这个方程的因式。为了找到因式,我们可以考虑方程的根。在这个例子中,我们可以通过观察和尝试来找到一些可能的根。

我们注意到,当x=1时,方程x3−6x2+11x−6的值为0。因此,x−1是方程的一个因式。

接下来,我们使用多项式除法(或者长除法)来将x3−6x2+11x−6除以x−1,得到商x2−5x+6。

因此,方程x3−6x2+11x−6=0可以因式分解为(x−1)(x2−5x+6)=0。

然后,我们注意到x2−5x+6是一个二次方程,它可以进一步因式分解为(x−2)(x−3)。

所以,方程x3−6x2+11x−6=0的最终因式分解为(x−1)(x−2)(x−3)=0。

由此,我们可以得出方程的解为x=1,x=2,x=3。

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