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一、正方形的面积和定义
1、正方形
四条边都相等且四个角都是直角的四边形,叫做正方形。
正方形是特殊的长方形,具有长方形(矩形)、菱形所有的特征。
2、正方形的特征
(1)两组对边分别平行,四条边都相等,邻边互相垂直。
(2)四个角都是90°,内角和为360°。
(3)对角线互相垂直,对角线相等且互相平分,每条对角线平分—组对角。
(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°,正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
(6)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质和特性(正方形是特殊的矩形,正方形是特殊的菱形)。
3、正方形的判定
(1)对角线相等的菱形是正方形。
(2)有一个角为直角的菱形是正方形。
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)一组邻边相等的矩形是正方形。
(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
(6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
(7)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
(8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
(9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
4、正方形的周长和面积
设正方形的棱长为$a$,则
正方形的周长$C=4a$。
正方形的面积$S=a^2$。
二、正方形的面积的相关例题
大正方形面积的$\frac{1}{7}$和小正方形面积的$\frac{1}{3}$相等,大正方形的面积是小正方形面积的___
A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{1}{7}$ C.$\frac{3}{7}$ D.$\frac{7}{3}$
答案:D
解析:设相等部分的面积是1;$1÷\frac{1}{7}=7$;$1÷\frac{1}{3}=3$;$7÷3=\frac{7}{3}$,所以大正方形的面积是小正方形面积的$\frac{7}{3}$。故选D。
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