一、正方形的面积和定义

1、正方形

四条边都相等且四个角都是直角的四边形，叫做正方形。

正方形是特殊的长方形，具有长方形（矩形）、菱形所有的特征。

2、正方形的特征

（1）两组对边分别平行，四条边都相等，邻边互相垂直。

（2）四个角都是90°，内角和为360°。

（3）对角线互相垂直，对角线相等且互相平分，每条对角线平分—组对角。

（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质和特性（正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形）。

3、正方形的判定

（1）对角线相等的菱形是正方形。

（2）有一个角为直角的菱形是正方形。

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（4）一组邻边相等的矩形是正方形。

（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

（7）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

4、正方形的周长和面积

设正方形的棱长为$a$，则

正方形的周长$C=4a$。

正方形的面积$S=a^2$。

二、正方形的面积的相关例题

大正方形面积的$\frac{1}{7}$和小正方形面积的$\frac{1}{3}$相等，大正方形的面积是小正方形面积的___

A．$\frac{1}{3}$ B．$\frac{1}{7}$ C．$\frac{3}{7}$ D．$\frac{7}{3}$

答案：D

解析：设相等部分的面积是1；$1÷\frac{1}{7}=7$；$1÷\frac{1}{3}=3$；$7÷3=\frac{7}{3}$，所以大正方形的面积是小正方形面积的$\frac{7}{3}$。故选D。