一、二次根式的定义和性质

1、二次根式的概念

一般地，我们把形如$\sqrt{a}$$(a\geqslant0)$的式子叫做二次根式，“$\sqrt{\ \ \ }$ ”称为二次根号。

二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

2、二次根式的性质

（1）$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$

（2）$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$；

（3）$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。

3、$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的区别与联系

区别

$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，$(\sqrt{a})^2$表示$a(a\geqslant0)$的算术平方根的平方。

$\sqrt{a^2}$中$a$可以为任意实数，$(\sqrt{a})^2$中的$a\geqslant0$。

$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$。

联系

当$a$为非负数时，两者的结果是一样的。

4、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。如$a+b$，$-ab$，$\frac{s}{t}$，$-x^3$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{a}(a\geqslant0)$等都是代数式。

5、同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如$3\sqrt{2}$和$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$是同类二次根式。

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，如$\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{18}$都是同类二次根式。

（3）判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同。

6、二次根式的乘法法则

$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$。即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。反过来即得到$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$，利用它可以进行二次根式的化简。

7、二次根式的除法法则

（1）$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$。即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。反过来即得到$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$，利用它可以进行二次根式的化简。

（2）分母有理化

在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$$(a\geqslant0,b>0)$；

也可通过类似分式中的“约分”进行分母有理化，如$\frac{ab}{\sqrt{b}}=$$\frac{a(\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}}=$$a\sqrt{b}$$(b>0)$。

8、最简二次根式

（1）被开方数不含分母。

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

9、二次根式的化简

性质$\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开方开得尽，可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a$$(a\geqslant0)$，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。

10、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：

（1）化成最简二次根式；（2）找出被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式，将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变。

11、二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算。

（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算。所以，运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式，如$\frac{1}{\sqrt{a}}=$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=$$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{1}{a+\sqrt{b}}=$$\frac{a-\sqrt{b}}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}=$$\frac{a-\sqrt{b}}{a^2-b}$。

二、二次根式的定义的相关例题

下列命题正确的是___

A．$\sqrt{a^2}=a$

B．$\sqrt{\frac{1}{2}}$是最简二次根式

C．$\sqrt{5}$与$\sqrt{20}$化成最简二次根式后被开方数相同

D．$\sqrt{a+b}$与$\sqrt{a-b}$的乘积不含根号

答案：C

解析：A．当$a<0$时，算式不成立，所以A选项错误；B．$\sqrt{\frac{1}{2}}$的最简二次根式是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以B选项错误；C．$\sqrt{20}$化成最简二次根式后为$2\sqrt{5}$与$\sqrt{5}$化成最简二次根式后的被开方数相同，所以C选项正确；D．$\sqrt{a+b}$$\sqrt{a-b}=$$\sqrt{a^2-b^2}$， 所以D选项错误。