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分式的定义和有意义的条件

时间:2021-03-12作者:洪兴十三妹一键复制全文保存为WORD
专题:

一、分式的定义和有意义的条件

1、分式的概念

一般地,如果$A$,$B$表示两个整式,并且$B$中含有字母,那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中,$A$叫做分子,$B$叫做分母。

2、分式有意义的条件

分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时,分式$\frac{A}{B}$才有意义。

3、分式的值为0的条件

当分式的分子等于0,且分母不等于0时,分式的值为0,即当$A=0$,且$B≠0$时,分式$\frac{A}{B}=0$。

4、分式的基本性质

(1)分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$,$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$,其中$A$,$B$,$C$是整式。

(2)约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。

(3)约分法则:把一个分式约分,如果分子和分母都是几个因式乘积的形式,约去分子和分母中相同因式的最低次幂;分子与分母的系数约去它们的最大公约数,如果分式的分子、分母是多项式,先分解因式,然后约分。

(4)最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

(5)通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。

(6)通分法则:把两个或者几个分式通分,① 先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积)。② 再利用分式的基本性质,用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母,使每个分式变为与原分式的值相等,而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式,则先分解因式,再通分。

(7)最简公分母:各分式分母的所有因式的最高次幂的积,叫做最简公分母。

确定分式的最简公分母的步骤:

① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。

② 各分式的分母中所有字母(或因式)都要取到。

③ 相同字母(或因式)的幂取指数最大的。

④ 所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母。

5、分式的乘除

(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。

用式子表示为$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$。

(2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

用式子表示为$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$。

(3)乘方法则:一般地,当$n$是正整数时,

$\left(\displaystyle{}\frac{a}{b}\right)^n=$$\begin{matrix} \underbrace{\displaystyle{}\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·\cdots·\frac{a}{b} }\\n个 \end{matrix}=$$\begin{matrix}n个\\ \overbrace{\begin{matrix} \underbrace{\displaystyle{}\frac{a·a·\cdots·a}{b·b·\cdots·b}} \\n个\\ \\ \end{matrix}} \end{matrix}=$$\displaystyle{}\frac{a^n}{b^n}$,即$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$。

即分式乘方要把分子、分母分别乘方。

6、分式的加减

类似分数的加减,分式的加减法则是

(1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。

即:$\frac{a}{c}±\frac{b}{c}=\frac{a±b}{c}$。

(2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。

即:$\frac{a}{b}±\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}±\frac{bc}{bd}=\frac{ad±bc}{bd}$。

二、分式的定义的相关例题

把$\frac{1}{x-2}$,$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$,$\frac{2}{(x+3)^2}$通分的过程中,不正确的是___

A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$

B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$

C.$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$

D.$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$

答案:D

解析:选项A,最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$,正确;选项B,$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$,正确;选项C,$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$,正确;选项D,$\frac{2}{(x+3)^2}=\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+3)^2}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$,不正确,故选D。

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