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一、分式的化简求值和基本性质
1、分式的基本性质
(1)分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
即$\frac{A}{B}=\frac{A·C}{B·C}$,$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$,其中$A$,$B$,$C$是整式。
(2)约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
(3)约分法则:把一个分式约分,如果分子和分母都是几个因式乘积的形式,约去分子和分母中相同因式的最低次幂;分子与分母的系数约去它们的最大公约数,如果分式的分子、分母是多项式,先分解因式,然后约分。
(4)最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
(5)通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
(6)通分法则:把两个或者几个分式通分,① 先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积)。② 再利用分式的基本性质,用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母,使每个分式变为与原分式的值相等,而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式,则先分解因式,再通分。
(7)最简公分母:各分式分母的所有因式的最高次幂的积,叫做最简公分母。
确定分式的最简公分母的步骤:
① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。
② 各分式的分母中所有字母(或因式)都要取到。
③ 相同字母(或因式)的幂取指数最大的。
④ 所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母。
2、分式的化简求值的方法
分式的化简求值是代数式化简求值的常见题型之一,也是中考的固定题型,其基本步骤是先化简,再把字母的值或条件中所含关系式代入计算。根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化。
二、分式的化简求值的相关例题
下列分式中,最简分式是___
A.$\frac{x+1}{2x^2+4x+2}$
B.$\frac{x-2y}{x^2-4y^2}$
C.$\frac{x+3x^2}{x^2}$
D.$\frac{1-x}{2(x+1)}$
答案:D
解析:A.$\frac{x+1}{2x^2+4x+2}=\frac{x+1}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2x+2}$,故原式不是最简分式,不合题意;B.$\frac{x-2y}{x^2-4y^2}=\frac{x-2y}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{1}{x+2y}$,故原式不是最简分式,不合题意;C.$\frac{x+3x^2}{x^2}=\frac{1+3x}{x}$,故原式不是最简分式,不合题意;D.$\frac{1-x}{2(x+1)}$是最简分式,符合题意。故选D。
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