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因式分解法的概念和方法

时间:2021-03-12作者:空心人一键复制全文保存为WORD
专题:

一、因式分解法的概念和方法

1、因式分解的概念及与整式乘法的关系

(1)因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。

(2)因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形,它们目标不同,过程相反,两者互为逆变形。因式分解是将“和差”化为“积”的形式,而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

2、因式分解的方法

(1)提公因式法

① 公因式:多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

② 提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法用字母表示为:$pa+$$pb+$$pc=$$p(a+$$b+$$c)$,$p$既可表示单项式也可表示多项式,$p$称为这个多项式的公因式。

(2)公式法

① 平方差公式:$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

即:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。

② 完全平方公式:$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$

即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。

(3)形如$x^2+(p+q)x+pq$型式子的因式分解

$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$,利用该式可将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。如:$x^2-$$6x-$$7=$$(x-7)$$(x+1)$,$x^2+$$5x-$$6=$$(x+6)$$(x-1)$。

(4)因式分解方法的综合运用

对多项式进行因式分解常常是几种方法综合运用,灵活操作。首先,看各项有无公因式,若有公因式,则把它提取出来。其次,观察是否符合完全平方公式或平方差公式,若符合就用公式法分解因式。

二、因式分解法的相关例题

下列由左边到右边的变形是因式分解的是

A.$3x+3y-5=3(x+y)-5$

B.$(x+1)(x-1)=x^2-1$

C.$x^2-9=(x+3)(x-3)$

D.$x+y=x\left(1+\frac{y}{x}\right)(x≠0)$

答案:C

解析:从左到右变形是因式分解必须满足的特点:第一,左边是多项式, 右边整体是乘积形式;第二,左右两边都是整式;第三,结果分解彻底,A选项右边整体是减法,不是乘积形式,因此不是因式分解;B选项左边是乘积形式而不是多项式,因此不是因式分解;C选项符合因式分解的特点;D选项右边不是整式,因此不是因式分解。

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