一、标准差公式和定义

1、方差

设有$n$个数据$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$，$(x_2-\overline{x})^2$，$\cdots$，$(x_n-\overline{x})^2$，我们用这些值的平均数，即用$\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+$$(x_2-\overline{x})^2+$$\cdots+$$(x_n-\overline{x})^2］$来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$。

2、标准差

标准差公式是一种数学公式。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

样本标准差=方差的算术平方根，

即标准差公式为

$s=\sqrt{\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2］}$。

标准差和方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大，即离散程度越大；标准差和方差越小，说明这组数据的波动性越小，即离散程度越小。

二、标准差公式的相关例题

期中考试后，班里有两位同学各科平均成绩相同，但是标准差不同，以下说法正确的是___

A．平均分数相等说明两名同学各科学习成绩一样

B．标准差较大的说明各科成绩比较稳定

C．标准差较大的说明成绩比较好

D．标准差小的比标准差大的各科成绩之间差异较小

答案：D

解析：平均分数相等只能说明平均水平相同，不能说明两名同学各科学习成绩一样，故A错误；标准差较大的说明各科成绩之间差异较大，故B错误；C错误；标准差小的比标准差大的各科成绩之间差异较小，故D正确。故选D。