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一、方差和标准差的定义
1、方差
设有$n$个数据$x_1$,$x_2$,$\cdots$,$x_n$,各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$,$(x_2-\overline{x})^2$,$\cdots$,$(x_n-\overline{x})^2$,我们用这些值的平均数,即用$\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+$$(x_2-\overline{x})^2+$$\cdots+$$(x_n-\overline{x})^2]$来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作$s^2$。
2、标准差
标准差公式是一种数学公式。标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差。
样本标准差=方差的算术平方根,
即标准差公式为
$s=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]}$。
标准差和方差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动性越大,即离散程度越大;标准差和方差越小,说明这组数据的波动性越小,即离散程度越小。
二、方差的相关例题
若样本$x_1$,$x_2$,$x_3$,$\cdots$,$x_n$的平均数为10,方差为4,则对于样本$x_1-3$,$x_2-3$,$x_3-3$,$\cdots$,$x_n-3$,下列结论正确的是___
A.平均数为10,方差为2
B.众数不变,方差为4
C.平均数为7,方差为4
D.中位數变小,方差不变
答案:C
解析:样本$x_1-3$,$x_2-3$,$x_3-3$,$\cdots$,$x_n-3$,对于样本$x_1$,$x_2$,$x_3$,$\cdots$,$x_n$来说,每个数据均在原来的基础上减少3,根据平均数、方差的变化规律得:平均数减少3,而方差不变,即:平均数为10-3=7,方差为4,故选C。
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