一、等腰直角三角形的定义和性质

1、等腰直角三角形

顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，具有所有等腰三角形的性质。

2、等腰直角三角形的性质

（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

（3）斜边上中线、角平分线、垂线三线合一。

（4）等腰直角三角形三边比例为$1∶1∶\sqrt{2}$。

（5）斜边上的高为外接圆的半径$R$。

（6）等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质。

3、等腰直角三角形的判定

（1）有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。

（2）三边比例为$1∶1∶\sqrt{2}$的三角形是等腰直角三角形。

（3）底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

（4）有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

（5）直角边和斜边的比例为$1∶\sqrt{2}$的直角三角形是等腰直角三角形。

（6）有一个角是45°，并且这个角两边长度比为$1∶\sqrt{2}$的三角形是等腰直角三角形。

二、等腰直角三角形的相关例题

已知$△ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，且满足$(a-b)^2+$$|a^2+$$b^2-$$c^2|=0$，则$△ABC$的形状为___

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

答案：C

解析：∵$(a-b)^2+$$|a^2+$$b^2-$$c^2|=0$，且$(a-b)^2\geqslant0$，$|a^2+$$b^2-$$c^2|\geqslant0$，∴$a-b=0$且$|a^2+$$b^2-$$c^2|=0$，∴$a=b$且$a^2+b^2=c^2$.∴$△ABC$是等腰直角三角形。故选C。