一、二次函数的定义和一般形式

1、二次函数

一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中，$x$是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：① 二次函数中自变量的最高次数必须是2，也就是说在$y=ax^2+bx+c$中，$a≠0$，而$b$，$c$可以为0。② 含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。

2、二次函数的一般形式

（1）任何一个二次函数的解析式都可以化成$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的形式，因此，把$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）叫做二次函数的一般形式。

（2）二次函数一般形式的结构特征：① 函数的关系式是整式；② 自变量的最高次数是2；③ 二次项系数不等于零。

3、二次函数的顶点式

由于从$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$叫做二次函数的顶点式。

顶点式的特点：$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$的图象的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。

4、二次函数的交点式

由于从$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$中可直接看出抛物线与$x$轴的两个交点的坐标$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，所以通常把$y=$$a(x-x_1)$$(x-x_2)$$(a≠0)$叫做二次函数的交点式。

注：①一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化。

② 顶点式、交点式化为一般式,主要运用去括号、合并同类项等方法。

③ 一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。

5、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质

二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）

（1）当$a>0$时

图象开口向上；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最小值，此时$y_{最小值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

（2）当$a<0$时

图象开口向下；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最大值，此时$y_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

因为抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，当对称轴在$y$轴左侧时，$-\frac{b}{2a}<0$，即$\frac{b}{2a}>0$，所以$a$与$b$同号；反之，$a$与$b$异号，故可记为“左边同号，右边异号（$a$与$b$）”。

6、二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质

二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$

（1）开口

当$a>0$时，开口向上，并向上无限延伸。

当$a<0$时，开口向下，并向下无限延伸。

$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。

（2）对称轴及顶点坐标

关于直线$x=h$对称；顶点坐标为$(h,k)$。

（3）增减性

当$a>0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而减小；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。

当$a<0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小。

（4）最值

$a>0$时，二次函数有最小值，即当$x=h$时，$y{最小值}=k$，此时最低点为顶点$(h,k)$；$a<0$时，二次函数有最大值，即当$x=h$时，$y{最大值}=k$， 此时最高点为顶点$(h,k)$。

7、抛物线的平移

（1）抛物线$y=ax^2$与抛物线$y=ax^2+$$bx+c$形状相同，位置不同。把抛物线$y=ax^2$向左$\left(\frac{b}{2a}>0\right)$或向右$\left(\frac{b}{2a}<0\right)$平移$\left|\frac{b}{2a}\right|$一个单位；再向上$\left(\frac{4ac-b^2}{4a}>0\right)$或向下$\left(\frac{4ac-b^2}{4a}<0\right)$平移$\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|$个单位可得到$y=ax^2+$$bx+c$的图象。

（2）一般地，抛物线$y=a(x-h)^2+k$与抛物线$y=ax^2$形状相同，位置不同，把抛物线$y=ax^2$向上$(k>0)$或向下$(k<0)$平移$|k|$个单位；再向左$(h<0)$或向右$(h>0)$平移$|h|$个单位可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象，简记为：“左加右减括号内，括号外上加下减”。

8、二次函数与一元二次方程的关系

二次函线数$y=ax^2+$$bx+c$$(a≠0)$，当$y=0$时，得到一元二次方程$y=ax^2+$$bx+c=0$$(a≠0)$。一元二次方程的解就是二次函数的图象与$x$轴交点的横坐标，因此，二次函数图象与$x$轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。

9、二次函数图象的对称性

二次函数$y=ax^2+$$bx+c$$(a≠0)$的图象是轴对称图形，它关于$x=-\frac{b}{2a}$对称。对称轴与抛物线的交点为二次函数图象的顶点。

10、待定系数法求二次函数解析式的方法

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法。

（1）设一般式：$y=ax^2+$$bx+c$$(a≠0)$。

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为$y=ax^2+$$bx+c$$(a≠0)$，将已知条件代入解析式，得到关于$a$，$b$，$c$的三元一次方程组，解方程组求出$a$，$b$，$c$的值，即可得到解析式。

（2）设顶点式：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$。

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），则设所求二次函数为$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。

（3）设交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$。

若已知二次函数图象与$x$轴的两个交点的坐标为$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，则设所求二次函数为$y=$$a(x-x_1)$$(x-x_2)$$(a≠0)$，将第三个点的坐标$(m,n)$（其中$m$，$n$为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数$a$，最后将解析式化为一般形式。

二、二次函数的相关例题

若一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$，则抛物线$y=ax^2+bx$的对称轴为___

A．直线$x=1$

B．直线$x=-2$

C．直线$x=-1$

D．直线$x=-4$

答案：C

解析：把$(-2,0)$代入$y=ax+b$中，得$0=-2a+b$，即$b=2a$。则抛物线$y=ax^2+bx$的对称轴为直线$x=$$-\frac{b}{2a}=$$-\frac{2a}{2a}=$$-1$。故选C。