一、二次函数的性质和定义

1、二次函数

一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中，$x$是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：① 二次函数中自变量的最高次数必须是2，也就是说在$y=ax^2+bx+c$中，$a≠0$，而$b$，$c$可以为0。② 含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。

2、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质

二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）

（1）当$a>0$时

图象开口向上；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最小值，此时$y_{最小值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

（2）当$a<0$时

图象开口向下；对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$；当$x<-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>-\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$有最大值，此时$y_{最大值}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

因为抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，当对称轴在$y$轴左侧时，$-\frac{b}{2a}<0$，即$\frac{b}{2a}>0$，所以$a$与$b$同号；反之，$a$与$b$异号，故可记为“左边同号，右边异号（$a$与$b$）”。

3、二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质

二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$

（1）开口

当$a>0$时，开口向上，并向上无限延伸。

当$a<0$时，开口向下，并向下无限延伸。

$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。

（2）对称轴及顶点坐标

关于直线$x=h$对称；顶点坐标为$(h,k)$。

（3）增减性

当$a>0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而减小；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。

当$a<0$时，$x<h$时，即在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大；$x>h$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小。

（4）最值

$a>0$时，二次函数有最小值，即当$x=h$时，$y_{最小值}=k$，此时最低点为顶点$(h,k)$；

$a<0$时，二次函数有最大值，即当$x=h$时，$y_{最大值}=k$， 此时最高点为顶点$(h,k)$。

二、二次函数的性质的相关例题

若抛物线$y=x^2-2x+c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，则下列说法不正确的是___

A．抛物线的开口向上

B．抛物线的对称轴是直线$x=1$

C．当$x=1$时，$y$的最大值为$-4$

D．抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$

答案：C

解析：抛物线$y=x^2-2x+c$与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$，∴$c=-3$。即$y=x^2-2x-3=$$(x-1)^2-$$4=$$(x-3)$$(x+1)$。∴其开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x=1$时，$y$的最小值为$-4$，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，$(3,0)$。故选C。