一、反比例函数$k$的几何意义和性质

1、反比例函数

一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，叫做反比例函数，其中$x$是自变量，$y$是函数。自变量$x$的取值范围是不等于0的一切实数。

2、反比例函数$y=\frac{k}{x}$需注意以下几点：

（1）$k$为常数，$k≠0$。

（2）自变量$x$的取值范围是$x≠0$的一切实数。

（3）$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。

3、反比例函数的图象与性质

反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象是双曲线。

（1）当$k>0$时

图象位于一、三象限；在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。

（2）当$k<0$时

图象位于二、四象限；在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。

4、反比例函数$k$的几何意义

（1）矩形的面积

过双曲线上任意一点$P$作$x$轴，$y$轴的垂线$PM$，$PN$，垂足分别为$M$，$N$，所得矩形$PMON$的面积$S=PM·PN=$$|y|·|x|=$$|xy|$，又因为$y=\frac{k}{x}$，所以$xy=k$，所以$S=|k|$，即过双曲线上任意一点$P$作$x$轴，$y$轴的垂线$PM$，$PN$，所得矩形$PMON$的面积为$|k|$。

（2）三角形的面积

过双曲线上任意一点$E$作$EF$垂直$y$轴于点$F$，连接$EO$，则$S_{△EOF}=\frac{|k|}{2}$，即过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$。

二、反比例函数$k$的几何意义的相关例题

已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$，在每一个象限内$y$随$x$的增大而增大，点$A$在这个反比例函数图象上，$AB⊥x$轴，垂足为点$B$ ，$△ABO$的面积为9，那么反比例函数的解析式为___

A．$y=-\frac{18}{x}$ B．$y=\frac{18}{x}$

C．$y=\frac{9}{x}$ D．$y=-\frac{9}{x}$

答案：A

解析：∵$△ABO$的面积为9，$\frac{1}{2}|k|=9$.∴$|k|=18$，∴$k=±18$，又∵在每一个象限内$y$随的增大而增大，∴$k=-18$。 故选A。