一、有理数的概念和分类

1、有理数

（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。

（2）有理数的分类

① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。

其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。

② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。

其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。

2、数轴

（1）数轴的定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。

（2）数轴上的点和有理数

一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。

3、相反数

（1）相反数

像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。

（2）几何意义

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。

（3）相反数的性质

任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。

4、绝对值

（1）绝对值的定义

一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。

（2）绝对值的意义

① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果$a$>0，那么$|a|$=$a$；

如果$a$=0，那么$|a|$=0；

如果$a$<0，那么$|a|=-a$。

② 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

③ 绝对值的性质：绝对值具有非负性，即有$|a|$$\geqslant$0；

若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即$|a|$+$|b|$+$\cdots$+$|m|$=0，则$a$=$b$=$\cdots$=$m$=0。

5、有理数大小的比较

（1）在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。从而可知：

① 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；

② 两个负数，绝对值大的反而小。

设$a$，$b$是两负有理数，则$|a|$>$|b|$$\Leftrightarrow$$a<b$；$|a|$=$|b|$$\Leftrightarrow$$a=b$；$|a|$<$|b|$$\Leftrightarrow$$a>b$。

（2）有理数比较大小的常用方法

（1） 数轴比较法

将两有理数分别表示在数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大，若两数表示同一点，则这两数相等

（2）差值比较法

设$a$、$b$是任意两有理数，$a-$$b>$$0\Leftrightarrow a>$$b$；$a-$$b<$$0\Leftrightarrow a<$$b$；$a-$$b=$$0\Leftrightarrow a=$$b$。

（3）商值比较法

设$a$、$b$是两正有理数，$\frac{a}{b}$>1$\Leftrightarrow$$a>b$；$\frac{a}{b}$=1$\Leftrightarrow$$a=b$；$\frac{a}{b}$<1$\Leftrightarrow$$a<b$。

（4）绝对值比较法

设$a$、$b$是两负有理数，$|a|>$$|b|\Leftrightarrow a<$$b$；$|a|=$$|b|\Leftrightarrow a=$$b$；$|a|<$$|b|\Leftrightarrow a>$$b$。

6、有理数的加减法

（1）有理数加法法则

① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

即若$a$>0，$b$>0，则$a$+$b$=+（$|a|$+$|b|$）;

若$a$<0，$b$<0，则$a$+$b$=$-$（$|a|$+$|b|$）。

② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

即若$a$>0，$b$<0，且$|a|$>$|b|$时，则$a$+$b$=+（$|a|$$-|b|$）;

若$a$>0，$b$<0，且$|a|$<$|b|$时，则$a$+$b=$$-(|b|-|a|)$。

③ 一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即$a$+$b$=$b$+$a$。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（$a$+$b$）+$c$=$a$+（$b$+$c$）。

（3）有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。

有理数减法法则也可以表示成$a-b$=$a$+（$-b$）。例如：（$-3$）$-$（$-2$）=（$-3$）+（+2）=$-1$。对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算。

（4）有理数的加减混合运算

因为减法可以转化为加法运算，于是加减混合运算可以统一为加法运算，用式子表示为：$a+b-c$=$a+b+(-c)$。

7、有理数的乘法

（1）有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

（2）倒数

乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数。

（3）多个有理数相乘

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

（4）有理数乘法的运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即$ab$=$ba$。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即$(ab)c$=$a(bc)$。

分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即$a(b+c)$=$ab$+$ac$。

乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘。如 $abcd$=$d(ac)b$。一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加。

8、有理数的除法

（1）有理数除法法则

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a$÷$b$=$a$·$\frac{1}{b}$（$b$≠0）。

从有理数除法法则，容易得出：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。

（2）有理数的乘除混合运算

① 有理数的乘除混合运算先将除法化为乘法→确定积的符号→按从左到右的顺序运算→求出结果。

② 结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数个时结果为正，负因数的个数是奇数个时结果为负。

③ 化成乘法后，应先约分再相乘。

（3）有理数的加减乘除混合运算

有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序计算。

9、有理数的乘方

（1）乘方的定义

求$n$个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在$a^n$中，$a$叫做底数，$n$叫做指数。当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时，也可读作“$a$的$n$次幂”。例如：在$9^4$中，底数是9，指数是4，$9^4$读作“9的4次方”，或“9的4次幂”。

（2）乘方运算法则

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（3）有理数的混合运算顺序

① 先乘方，再乘除，最后加减。

② 同级运算，从左到右进行。

③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

10、科学记数法

把一个大于10的数表示成$a×$$10^n$的形式（其中$a$大于或等于1且小于10，$n$是正整数），使用的是科学记数法。例如：567 000 000=5.67×$10^8$。

对于小于$-10$的数也可以类似表示。例如：$-567\ 000\ 000=$$-5.67×$$10^8$。

11、近似数

（1）准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数。

（2）近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。

（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度。

二、有理数的概念的相关例题

下列关于有理数的分类正确的是___

A．有理数可以分为正有理数和负有理数

B．有理数可分为正有理数、负有理数和0

C．有理数可分为正整数、0和负整数

D．有理数可分为自然数、0和分数

答案：B

解析：有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A，C，D错误，B正确。故选B。