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实数的定义和分类

时间:2021-03-10作者:离城梦一键复制全文保存为WORD
专题:

一、实数的定义和分类

1、无理数

无线不循环小数叫做无理数。如$\sqrt{2}$,$\sqrt[3]{-3}$,$π$等都是无理数。

无理数包含正无理数和负无理数。

2、常见的无理数

(1)所有开方开不尽的方根,如$\sqrt{5}$。

(2)化简后含有$π$的数,如$-\frac{π}{3}$。

(3)无限不循环小数,如$0.320\ 020\ 263 \cdots$。

3、实数

(1)实数的定义

有理数和无理数统称为实数。

(2)实数的分类

① 按定义分类

实数分为有理数和无理数。

有理数分为正有理数、0、负有理数。

无理数分为正无理数、负无理数。

② 按正负分类

实数分为正实数、0、负实数。

正实数分为正有理数、正无理数。

负实数分为负有理数、负无理数。

4、实数与数轴上的点的对应关系

我们知道,任何一个有理数,在数轴上都有唯一确定的点与之对应,但是数轴上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才能填满整个数轴,所以实数与数轴上的点是一一对应的,也就是说,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一个实数。

5、实数的性质

(1)数$a$的相反数是$-a$,这里$a$表示任意一个实数。

(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数,则

$\displaystyle{}|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\\0,当a=0时;\\-a,当a<0时。\end{cases}$

(3)实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$,若$a$与$b$互为倒数,则$ab=1$;若$ab=1$,则$a$与$b$互为倒数。

6、实数的运算

(1)实数的运算

当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

(2)实数运算的顺序

先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的。实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去(添)括号法则同样适用于实数。

(3)比较实数大小的常见方法

① 把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小;对于符号相同的两个根式,利用乘方法来比较大小。如:同是正号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式也大;同是负号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式反而小。

② 作差法比较:若$a-b>0$,则$a>b$;若$a-b<0$,则$a<b$。

③ 对于符号相同的两个实数,还可利用取倒数法来比较大小,即若$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$,则$a<b$;若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$,则$a>b$。

二、实数的相关例题

计算:$3×(\sqrt{2}+\sqrt{3})+3×(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$

答案:$6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$

解析:$3×(\sqrt{2}+\sqrt{3})+3×(\sqrt{2}-2\sqrt{3})=$$3\sqrt{2}+$$3\sqrt{3}+$$3\sqrt{2}-$$6\sqrt{3}=$$6\sqrt{2}-$$3\sqrt{3}$。

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