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一、实数大小比较的常见方法
1、实数
有理数和无理数统称为实数。
2、实数的性质
(1)数$a$的相反数是$-a$,这里$a$表示任意一个实数。
(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数,则
$\displaystyle{}|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\\0,当a=0时;\\-a,当a<0时。\end{cases}$
(3)实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$,若$a$与$b$互为倒数,则$ab=1$;若$ab=1$,则$a$与$b$互为倒数。
3、实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
4、比较实数大小的常见方法
(1)把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小;对于符号相同的两个根式,利用乘方法来比较大小。如:同是正号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式也大;同是负号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式反而小。
(2)作差法比较:若$a-b>0$,则$a>b$;若$a-b<0$,则$a<b$。
(3)对于符号相同的两个实数,还可利用取倒数法来比较大小,即若$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$,则$a<b$;若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$,则$a>b$。
二、实数大小比较的相关例题
比较下列两组数的大小
(1)$\sqrt{65}$8 (2)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$0.5
直接在空格出填写符号“>”“<”或“=”。
答案:(1)> (2)>
解析:(1)因为$(\sqrt{65})^2=65$,$8^2=64$,所以$(\sqrt{65})^2>64$,所以$\sqrt{65}>8$。(2)因为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$-0.5=$$\frac{\sqrt{5}-2}{2}=$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2}>0$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}>0.5$。
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