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实数与向量相乘的定义和运算律

时间:2021-03-10作者:悲与喜一键复制全文保存为WORD
专题:

一、实数与向量相乘的定义和运算律

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作:$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素:大小和方向。

2、向量的数乘

(1)定义

一般地,我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作$λ\boldsymbol a$。它的长度与方向规定如下:

① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。

② 当$λ=0$时,$λ\boldsymbol a=0$;当$λ<0$时,$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反;当$λ>0$时,$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积,但不能进行加减运算,如$λ+\boldsymbol a$,$λ-\boldsymbol a$无意义。

(2)向量数乘的运算律

设$λ$,$μ$为实数,则有:

$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$(结合律)。

$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$(第一分配律)。

$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$(第二分配律)。

特别地,我们有:

$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。

$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$,$μ_1$,$μ_2$,恒有$λ(μ_1\boldsymbol a±μ_2\boldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。

二、实数与向量相乘的相关例题

下列说法正确的是___

A.一个向量与零相乘,乘积为零

B.向量不能与无理数相乘

C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

答案:D

解:A.一个向量与零相乘,乘积为零向量,故本选项错误;B.向量可以与任何实数相乘,故本选项错误;C.非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反,但不一定更短,故本选项错误;D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反,故本选项正确。故答案是D。

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