一、一元二次不等式的解法和定义

1、一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2、解一元二次不等式的一般步骤

（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；

（2）计算判别式$\mathit{Δ}$；

（3）当$\mathit{Δ}≥0$时，求出相应的一元二次方程的根；

（4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集。

3、二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的解

当$\mathit{Δ}>0$时，一元二次方程有$ax^2+bx+c=0(a>0)$两个不同的实根（设为$x_1$，$x_2$且$x_1<x_2$），此时$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集为${x|x<x_1$或$x>x_2}$；

当$\mathit{Δ}=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$有两个相等的实根（设为$x_1=x_2$，且$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}）$，此时$ax^2+bx+c=0(a>0)$的解集为$\begin{Bmatrix}x\Bigg|x≠-\dfrac{b}{2a} \end{Bmatrix}$；

当$\mathit{Δ}<0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$无实根，此时$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集为$\mathbf{R}$。

二、一元二次不等式的解法的相关例题

已知关于$x$的一元次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集为$(1,2)$ ，则关于$x$的一元二次不等式$cx^2+bx+a<0$的解集为___

A．$(1,2)$

B．$(-2,-1)$

C．$(\frac{1}{2},1) $

D．$(-∞,1)∪(2,+∞)$

答案：C

解析：由于关于$x$的一元二次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集为$(1,2)$， 所以$\begin{cases}a>0，\\1+2=-\frac{b}{a}，\\1×2=\frac{c}{a}，\end{cases}$所以$\begin{cases}a>0，\\b=-3a<0，\\c=2a>0，\end{cases}$所以不等式$cx^2+bx+a<0$等价于$2ax^2-3ax+a<0$，即$2x^2-3x+1=$$(2x-1)(x-1)<0$，解得$\frac{1}{2}<x<1$。故选C。