一、非线性回归的定义和方程

1、非线性回归

非线性回归是回归函数关于未知回归系数具有非线性结构的回归。常用的处理方法有回归函数的线性迭代法、分段回归法、迭代等。

非线性回归分析的主要内容与线性回归分析相似。

2、回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

其基本步骤是：

（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）用回归直线方程作预报。

3、回归直线

如果具有相关关系的两个变量的一组数据$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$\cdots$，$(x_n,y_n)$大致分布在一条直线附近，那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系，这条直线就是回归直线，记为$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$。

4、回归直线方程的求法——最小二乘法

设具有线性相关关系的两个变量$x$，$y$的一组观察值为$(x_i,y_i)$$(i=1,2,\cdots,n)$，则回归直线方程$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$的系数为$\widehat{b}=$$\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(x_i-\overline{x})^2}=$$\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x^2_i-n\overline{x}^2}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$，其中$(x_i,y_i)$为样本数据，$\overline{x}=$$\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}x_i$，$\overline{y}=$$\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}y_i$为样本平均数。

注：1、$(\overline{x},\overline{y})$称为样本点的中心，回归直线$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$一定经过样本点的中心$(\overline{x},\overline{y})$。2、当回归直线的斜率$\widehat{b}>0$时，为线性正相关，当$\widehat{b}<0$时，为线性负相关。3、回归直线方程$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$中的$\widehat{y}$是为了与$y$的实际值区别。

二、非线性回归的相关例题

已知线性回归直线的斜率的估计值是1.05，样本中心点为$(4,5)$。则线性回归直线是___

A．$y=1.05x+4$

B．$y=1.05x+0.8$

C．$y=1.05x+1.05$

D．$y=1.05x-0.8$

答案：B

解析：线性回归直线的斜率估计值是1.05，设线性回归直线方程是$\widehat{y}=1.05x+b$，由回归直线经过样本中心点$(4,5)$。将$(4,5)$代入线性回归直线方程$\widehat{y}=1.05x+b$得$b=0.8$。则$\widehat{y}=1.05x+0.8$。故选B。