一、面面关系的定义和性质定理

1、面面的关系

平面与平面的关系包含平行和相交（包含垂直）两种。其主要运用于立体几何的求解中。

2、平面与平面平行

定义：若两个平面无公共点，则称这两个平面平行。

判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

推论2：平行于同一个平面的两个平面平行。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3、二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的表示方法

①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

（4）二面角的平面角

在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

4、平面与平面垂直

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

平面与平面垂直的一般性质和结论

（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。

（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

（4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。

二、面面关系的相关例题

在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为$(0,-1,3)$，$(2,2,4)$，则这个二面角的余弦值为___

A．$\frac{\sqrt{15}}{6}$ B．$-\frac{\sqrt{15}}{6}$ C．$\frac{\sqrt{15}}{3}$ D．$±\frac{\sqrt{15}}{6}$

答案：D

解析：设这两个向量分别为$\boldsymbol a=(0,-1,3)$，$\boldsymbol b=(2,2,4)$，由题可知,这两个向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角余弦值的绝对值，∴$\boldsymbol a·\boldsymbol b=$$0×2+$$(-1)×$$2+$$3×$$4=$$10$，$|\boldsymbol a|=$$\sqrt{0^2+(-1)^2+3^2}=$$\sqrt{10}$，$|\boldsymbol b|=\sqrt{2^2+2^2+4^2}=2\sqrt{6}$，∴$\cos〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=\frac{10}{\sqrt{10}·2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$，∴这个二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{6}$或$\frac{\sqrt{15}}{6}$。故选D。