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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．                                          B．                                          C．                                          D．

2．已知集合，则中元素的个数为

A．9                                                                      B．8                                                        C．5                                                        D．4

3．函数的图像大致为

4．已知向量，满足，，则

A．4                                                                      B．3                                                        C．2                                                        D．0

5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．              B．              C．                    D．

6．在中，，，，则

A．              B．              C．                    D．

7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A．

B．

C．

D．

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

   A．                                                        B．                                                        C．                                                        D．

9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A．                                                        B．                                                        C．                                                        D．

10．若在是减函数，则的最大值是

A．                                                        B．                                                        C．                                                        D．

11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A．                                                        B．0                                                        C．2                                                        D．50

12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率

为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A．                                                          B．                                                        C．                                                           D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．若满足约束条件 则的最大值为__________．

15．已知，，则__________．

16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

参考答案:

一、选择题

1.D                            2.A                            3.B                            4.B                            5.A                            6.A

7.B                            8.C                            9.C                            10.A                            11.C                            12.D

二、填空题

13.                            14.9                            15.                            16.

三、解答题

17. (12分)

解：（1）设的公差为d，由题意得.

由得d=2.

所以的通项公式为.

（2）由（1）得.

所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19.(12分)

解：（1）由题意得，l的方程为.

设，

由得.

，故.

所以.

由题设知，解得（舍去），.

因此l的方程为.

（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.

设所求圆的圆心坐标为，则

解得或

因此所求圆的方程为或.

20.(12分)

解：（1）因为，为的中点，所以，且.

连结.因为，所以为等腰直角三角形，

且，.

由知.

由知平面.

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

由已知得取平面的法向量.

设，则.

设平面的法向量为.

由得，可取，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以.又，所以.

所以与平面所成角的正弦值为.

21．（12分）

【解析】（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．