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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

              1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1

设则(   )

A.                            B.                            C.                            D.

2已知集合 ,则(   )

A.
B.
C.
D.

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是(   )

A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4记为等差数列的前项和,若,则(   )

A.-12        B.-10        C.10         D.12

5设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为(   )

A.                                          B.

C.                                          D.

6 在中,为边上的中线,为的中点,则(   )

A.                                          B.
C.                                          D.

7某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(   )

A.                                          B.                                          C.                                          D.

8 设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则(  )

A.5          B.6          C.7          D.8

9 已知函数,,在存在个零点,则的取值范围是(   )

A.                                          B.                                          C.                                          D.

10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为,则(   )

A.                                          B.                                          C.                                          D.

11已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则(   )

A.                                          B.                                          C.                                          D.

12已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为(   )

A.                                          B.                                          C.                                          D.

二、填空题

13若满足约束条件则的最大值为        。

14记为数列的前n项的和,若,则        。

15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有__________种.(用数字填写答案)

16已知函数,则的最小值是        。

三、解答题

17

在平面四边形中,

1.求;

2.若求

18如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.

1. 证明:平面平面;

2.求与平面所成角的正弦值

19 设椭圆的右焦点为,过得直线与交于两点,点的坐标为.

1.当与轴垂直时,求直线的方程;

2.设为坐标原点,证明:

20某工厂的某种产品成箱包装,每箱产品在交付用户前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格的概率为品(),且各件产品是否为不合格品相互独立

1.记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点

2.现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的  作为的值。已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为,求;

②检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?    

21已知函数

1.讨论的单调性;

2.若存在两个极值点,证明:

22[选修4—4:坐标系与参数方程]

    在直角坐标系中,曲线的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为    

1.求的直角坐标方程

2. 若与有且仅有三个公共点,求的方程

23[选修4—5:不等式选讲]

已知    

1.当时,求不等式的解集

2.若时,不等式成立,求的取值范围

参考答案

一、选择题

答案： C

解析： ,,故选C

答案： B

解析： 由题得=或，故，故选B

3.答案：A

解析：设建设前总经济收入为则建设后总经济收入为

对于,建设前种植收入为,建设后种植收入为故借误:

对于,建设前其他收入为,建设后其他收入为,故正确

对于,建设前养殖收入为,建设后养殖收入为,故正确:

对于,建设后,养殖收入占,第三产业收入占,故正确:

答案： B

解析： 由为等差数列，且，故有，即又由，故可得，故，故选B

答案： D

解析： 因为是奇函数，所以，即解得，所以，故切线方程为：，故选D

答案： A

解析： 由是边上的中线，为的中点，故，故选A

答案： B

解析：

如图，最小路径，故选B

答案： D

解析： 由直线过点且斜率为故可得直线为,联立直线与抛物线，解得或，故可设,则.又由抛物线焦点，故,,所以,故选D

答案： C

解析： 有两个零点等价于与有两个交点,由图可知,当,即时,与有两个交点,故选C

答案： A

解析： 假设,由三角形是直角三角形,故有,即,即有,故区域Ⅰ的面积为,区域Ⅱ的面积为,区域Ⅲ的面积为又由于总区域固定,故·即选A

答案： B

解析：

在中，

在中，

答案： A

解析： 如图所示平面与平面的所有棱缩成角都相等

故平面，构造平面平面

设,则,

故=

当时

二、填空题

答案：

解析： 作出约束区域如图所示,

目标函数化为

当直线经过时有最大截距,且此时取得最大值。

故当时取得最大值

答案：

解析： 由题意,当时,,解得

当时

化简得

故是以为首项,为公比的等比数列,因此

15.答案：16

解析：在人中任选人的选法总共有种;选出的人劝慰男生的选法共有种

故至少有一位女生入选的选法共有种

答案：

解析： 显然,故是以为周期的函数

又

故当,即时,单调递增

当,即时,单调递减

所以时,取得最小值

不妨令,取代入得

三、解答题

答案： 1.在中,由正弦定理可知:∴∴

由得∵∴
2.∵,

又由余弦定理知:

解得:∴

答案： 1.证明:∵分别为的中点,四边形为正方形∴∴∵,∴

而:∴平面,而平面,∴平面平面
2.记正方形边长为则:,且由翻折的性质可知:

∴过作于连接,由1知:平面平面,平面平面,∴平面,∴即为与平面所成的角.记,则,∴,在中,由勾股定理得:,即,解得∴

∴即与平面所成的角的正弦值为

答案： 1.依题意,右焦点,当与轴垂直时,则点的坐标为,所以当时,直线方程为

所以当时,直线方程为
2.①当直线与轴垂直时,两点分别为和根据对称性可知,所以

②当直线不与垂直时,设直线的方程为联立方程组

设,则则

答案： 1.

令,

当时,单调递增

当时,,单调递减

所以,当时,有最大

2.①有题意可知

设剩余件产品恰有件是不合格品,则

②若对余下产品进行检查时,则质检费用与赔偿费用之和为元,因为,所以需要检验

答案： 1.

当时,,此时在上单调递减;

当时,令,判别式

当时,此时,,从而在上单调递减

当时,此时,设的两根为,且,利用求根公式得

当时,,从而,在和单调递减

当时,,从而,此时在上单调递增

综上所述,当时,在上单调递减

当时,在和上单调递减,在上单调递增
2.由可知,若有两个极值点,则,且的两根即为

且满足韦达定理,易得,

因,可得,即

若要证,只须证,即证

整理得

构造函数,求导得

因此在上单调递减

从而成立,原式得证

答案： 1.

则,即

所以的直角坐标方程为
2.由题可知圆心坐标为,半径

又曲线方程,关于轴对称,且曲线过圆外定点

∴当曲线与圆有且仅有个交点时,设曲线在轴的右半部分与圆相切于点,

此时,

则,

,即直线的方程为

答案： 1.当时,则

∴当时,即

又当时,满足

综上:
2.当时,恒成立

即时有:

即,两边平方化简可得:

又,则成立

函数可看作斜率为的直线,且在处取最大值

则

即的取值范围是