2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1. 设集合，U为整数集，（    ）

A.  B.

C  D.

2. 若复数，则（    ）

A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2

3. 执行下面的程序框遇，输出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

4. 向量，且，则（    ）

A  B.  C.  D.

5. 已知正项等比数列中，为前n项和，，则（    ）

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（    ）

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “”是“”的（    ）

A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件

C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

8. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务选择种数为（    ）

A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 己知椭圆，两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 若为偶函数，则________．

14. 设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为____________．

15. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．

16. 在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．

三、解答题

17. 已知数列中，，设为前n项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18. 在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

（1）求证：；

（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．

19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．

（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

实验组：5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：

（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

参考数据：

20. 已知直线与抛物线交于两点，且．

（1）求；

（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值．

21. 已知

（1）若，讨论的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

四、选做题

22. 已知，直线（t为参数），为倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，．

（1）求的值；

（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】C

【12题答案】

【答案】B

二、填空题

【13题答案】

【答案】2

【14题答案】

【答案】15

【15题答案】

【答案】12

【16题答案】

【答案】

三、解答题

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）分布列见解析，   

（2）（i）；列联表见解析，（ii）能

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）

【21题答案】

【答案】（1）答案见解析.   

（2）

四、选做题

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）

【23题答案】

【答案】（1）   

（2）