数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。

数列极限的定义

数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。

比如对于这样一个数列

an=n（当n《100时） 或an=1/n (当n>100时）

这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3

从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。

数列极限的性质

（1）极限的唯一性

如果数列{xn}收敛，那么数列的极限唯一。

（2）收敛数列的有界性

如果数列{xn}收敛，那么数列一定有界。

（3）收敛数列的保号性

若数列{xn}收敛于a，且a>0, 则存在正整数N，使得当时n>N时，有xn>0。

以上性质中，极限的唯一性和有界性了解即可；极限的保号性用的是最多的,它常与求递推数列的极限、函数的极值点与拐点、连续函数的零点定理等一起应用，也是最容易出错的。