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2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）

文科数学

注意事项:

1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集,集合,则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设,则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和    B．和2    C．和    D．和2

5．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．18    B．10    C．6    D．4

6．（    ）

A．    B．    C．    D．

7．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．下列函数中最小值为4的是（    ）

A．      B．    

 C．      D．

9．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A．      B．      C．      D．

10．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A．      B．      C．      D．

11．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A．      B．      C．      D．2

12．设，若为函数的极大值点，则（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，若，则_________．

14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18．（12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

19．（12分）

设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

20．（12分）

已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.

21．(12分)

已知函数．

（1)讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,的圆心为,半径为1．

（1)写出的一个参数方程;

（2)过点作的两条切线．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程．

23．[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数．

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若,求a的取值范围．