一、完全平方数的定义和性质

1、完全平方数

完全平方即用一个整数乘以自己例如$11$，$22$，$3*3$等等，依此类推。

若一个数能表示成某个数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

2、完全平方数的性质

性质1：平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质6：奇数的平方是8$n$+1型；偶数的平方为8$n$或8$n$+4型。

性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3$n$，3$n$+1。

性质8：不能被5整除的数的平方为5$n$±1型，能被5整除的数的平方为5$n$型。

性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16$n$，16$n$+1，16$n$+4，16$n$+9。

性质10：$a^2b$为完全平方数的充要条件是$b$为完全平方数。

性质11：如果质数$p$能整除$a$，但$p^2$不能整除$a$，则$a$不是完全平方数。

性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若$n^2<k$$<(n+1)^2$，则$k$一定不是完全平方数。

性质13：一个正整数$n$是完全平方数的充分必要条件是$n$有奇数个因子（包括1和$n$本身）。

二、完全平方数的相关例题

使得3$^n$+81是完全平方数的正整数$n$有___个。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：当$n\leqslant4$时，易知3$^n$+81不是完全平方数，故设$n=$$k+4$$(k∈\mathbf{N}^*)$。则3$^n$+81=81(3$^k$+1)。因为3$^n$+81是完全平方数，而81是平方数，所以，一定存在正整数$x$，使得3$^k$+1=$x^2$，即$3^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$。故$x+1$、$x-1$都是3的方幂。又两个数$x+1$、$x-1$相差2，则只可能是3和1。从而，$x=2$，$k=1$。因此，存在唯一的正整数$n=k$+4=5， 使得3$^n$+81为完全平方数。故答案为B。