一、线段垂直平分线的性质和判定

1、线段的垂直平分线

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

2、性质

（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段；

（2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；

（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等；

3、垂直平分线的判定

必须同时满足（1）直线过线段中点；（2）直线垂直于线段。

二、线段垂直平分线的性质的相关例题

下面说法中正确的是___

A．若$AP=\frac{1}{2}AB$，则点$P$为线段$AB$的中点

B．若$AP=PB$，则点$P$为线段$AB$的中点

C．若$AB=2PB$，则点$P$为线段$AB$的中点

D．若$AP=PB=\frac{1}{2}AB$，则点$P$为线段$AB$的中点

答案：D

解析：某一点为一线段的中点要同时具备两个条件：（1）该点必须在线段上；（2）它把线段分成相等的两条线段。A中，若点$P$不在线段$AB$上，虽然满足$AP=\frac{1}{2}AB$，但点$P$不是线段$AB$的中点，A错误；B中，若点$P$不在线段$AB$上，虽然满足$AP=PB$，但点$P$不是线段$AB$的中点，B错误；C中，若点$P$不在线段$AB$上，虽然满足$AB=2PB$，但点$P$不是线段$AB$的中点，C错误，故选D。