一、回归分析的定义和回归直线

1、回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

其基本步骤是：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）用回归直线方程作预报。

2、回归直线

如果具有相关关系的两个变量的一组数据$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$大致分布在一条直线附近，那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系，这条直线就是回归直线，记为$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$。

3、回归直线方程的求法——最小二乘法

设具有线性相关关系的两个变量$x，y$的一组观察值为$（x_i,y_i）(i=1,2,\cdots,n)$，则回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$的系数为$\hat{b}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n} x^2_i-n\bar{x}^2}$，$ \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$，其中$(x_i,y_i)$为样本数据，$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{y_i}$为样本平均数。

注：1、$(\bar{x},\bar{y})$称为样本点的中心，回归直线$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$一定经过样本点的中心$(\bar{x},\bar{y})$。

2、当回归直线的斜率$\hat{b}>0$时，为线性正相关，当$\hat{b}<0$时，为线性负相关。

3、回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中的$\hat{y}$是为了与$y$的实际值区别。

4、随机误差

由于所有的样本点不共线，只是散布在某一条直线的附近，所以两变量之间的关系可用线性回归模型$y=bx+a+e$来表示，$a$和$b$为模型的未知参数，$e$是$y$与$bx$+$a$之间的误差。通常$e$为随机变量，称为随机误差，它的均值$E（e）$=0，方差$D（e）=σ^2>0$。这样线性回归模型的完整表达式为$\begin{cases}y=bx+a+e,\\E(e)=0,D(e)=σ^2\end{cases}$，随机误差$e$的方差$σ^2$越小，通过回归直线预报真实值$y$的精确度越高。

5、线性相关系数

对于变量$x$与$y$随机抽取到的$n$对数据，利用$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$相关系数$r$来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数$r$的计算公式为$r=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}（x_i- \bar{x}）^2·\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{x^2_i-n\bar{x}}^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{y^2_i}-n\bar{y}^2\right)}}$。

（1）当$r$>0时，表明两个变量正相关；当$r$<0时，表明两个变量负相关。

（2）$|r|$越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；$|r|$越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常$|r|$大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性。

二、回归分析的相关例题

已知变量$x$和$y$满足关系$y$=-2$x$+1,变量$y$

与$z$正相关，下列结论中正确的是___

A．$x$与$y$正相关，$x$与$z$负相关

B．$x$与$y$正相关，$x$与$z$正相关

C．$x$与$y$负相关，$x$与$z$负相关

D．$x$与$y$负相关，$x$与$z$正相关

答案：C

解析：根据题意，变量$x$和$y$满足关系$y$=-2$x$+1，其相关系数为-2<0，所以$x$与$y$负相关，又由变量$y$与$z$正相关知$x$与$z$负相关，故选C。