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空间向量的定义和基本定理

时间:2021-03-01作者:心已盲一键复制全文保存为WORD
专题:

一、空间向量的定义和基本定理

1、空间向量

与平面向量一样,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模。

2、空间向量基本定理

(1)共线向量定理

定理:对空间任意两个向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$($\boldsymbol b$≠0),$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$,使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。

推论:如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线,那么对空间任一点$O$,点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$,使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。

其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。

在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$,则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{O B}$②。

当$t=\frac{1}{2}$时,点$P$是线段$AB$的中点,则$\overrightarrow{O P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。

①②式都叫做空间直线的向量表示,③式是线段$AB$的中点公式。

(2)共面向量定理

定理:如果两个向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$不共线,那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对($x$,$y$),使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。

推论1:空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数对($x$,$y$),使$\overrightarrow{M P}=x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}$(或对空间任一点$O$,有$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O M}+x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}$)。

推论2:空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数组${ x,y,z}$,对空间任一点$O$,有$\overrightarrow{O P}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O M}$,其中$x$+$y$+$z$=1。

(3)空间向量基本定理

定理:如果三个向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$不共面,那么对空间任一向量$\boldsymbol p$,存在有序实数组${ x,y,z}$,使得$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$+$z\boldsymbol c$。

其中${ \boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c}$叫做空间的一个基底,$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$都叫做基向量。

推论:设$O$,$A$,$B$,$C$是不共面的四点,则对空间任一点$P$,都存在唯一的有序实数组${ x,y,z}$,使得$\overrightarrow{O P}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O C}$。

3、空间向量的数量积

已知空间两个非零向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$,则$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle$叫做$\boldsymbol a,\boldsymbol b$的数量积,记作$\boldsymbol a·\boldsymbol b$,即$\boldsymbol a·\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle$。

注:(1)两个向量的数量积是一个数,而不是向量,其值的符号由夹角的余弦值符号确定。

(2)向量的数量积$\boldsymbol a·\boldsymbol b$不能表示为$\boldsymbol a×\boldsymbol b$或$\boldsymbol a\boldsymbol b$。

(3)运用向量的数量积解题时,要注意两向量夹角的范围是$\left \lceil 0,\pi \right \rceil$。

4、向量数量积的性质

(1)$|\boldsymbol a|^2=\boldsymbol a·\boldsymbol a=\boldsymbol a^2\Rightarrow|\boldsymbol a|=\sqrt{\boldsymbol a^2}$。

(2)$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b\Leftrightarrow\boldsymbol a·\boldsymbol b=0$。

(3)$\cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle=\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$。

(4)对任意向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,总有$|\boldsymbol a·\boldsymbol b|≤|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$,并且只有$\boldsymbol a$∥$\boldsymbol b$时,等号成立。

5、向量数量积的运算律

(1)$(\lambda\boldsymbol a)·\boldsymbol b=λ(\boldsymbol a·\boldsymbol b)$。

(2)$\boldsymbol a·\boldsymbol b=\boldsymbol b·\boldsymbol a$。

(3)$\boldsymbol a·(\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a·\boldsymbol b+\boldsymbol a·\boldsymbol c$。

6、向量数量积满足的乘法公式

(1)$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)·(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2=|\boldsymbol a|^2-|\boldsymbol b|^2$。

(2)$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2+2\boldsymbol a·\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。

(3)$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2-2\boldsymbol a·\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。

(4)$|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2+|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=2|\boldsymbol a|^2+2|\boldsymbol b|^2$。

7、空间向量的坐标运算

设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$,$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$,则

(1)$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

(2)$\boldsymbol a-\boldsymbol b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

(3)$\boldsymbol a·\boldsymbol b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

(4)$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

(5)$λ\boldsymbol a=(λx_1,λy_1,λz_1)$。

二、空间向量的相关例题

下列说法错误的是___

A.设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$是两个空间向量,则$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$一定共面

B.设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$是两个空间向量,则$\boldsymbol a·\boldsymbol b$= $\boldsymbol b·\boldsymbol a$

C.设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$是三个空间向量,则$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$一定不共面

D.设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$是三个空间向量,则$\boldsymbol a(\boldsymbol b+\boldsymbol c$)=$\boldsymbol a\boldsymbol b+\boldsymbol a\boldsymbol c$

答案:C

解析:A,设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$是两个空间向量,则$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$一定共面,正确,因为向量可以平移;B,设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$是两个空间向量,则$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$\boldsymbol b·\boldsymbol a$ ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C,设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$是三个空间向量,则$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$可能共面,可能不共面,故C错误;D,设$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$是三个空间向量,则$\boldsymbol a(\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a\boldsymbol b+\boldsymbol a\boldsymbol c$,正确,因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律。故选C。

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