一、集合的包含关系和集合相等

1、子集：一般地，对于两个集合$A，B$，如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合$A$为集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$），读作“$A$含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。

2、真子集：如果集合$A\subseteq B$，但存在元素$x∈B$，且$x\notin A$，称集合$A$是集合$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq A$）。

3、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集，任何一个集合是它本身的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等：如果集合$A$是集合$B$的子集（$A\subseteq B$），且集合$B$是集合$A$的子集$（B\subseteq A）$，此时，集合$A$与集合$B$中的元素是一样的，因此，集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。

5、集合子集的个数

（1）若集合$A$中有$n$个元素，则集合$A$有$2^n$个子集，$2^n-1$个真子集，$2^n-1$个非空子集，$2^n-2$个非空真子集。

（2）若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素，集合$C$含有$m（m≥1）$个元素$（m≥n）$，且$A\subseteq B\subseteq C$，则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、集合的包含关系的相关例题

下列命题:

① 空集没有子集；② 任何集合至少有两个子集；③ 空集是任何集合的真子集；④ 若$\varnothing\subsetneqq A$ ，则$A≠\varnothing$。其中正确的个数是___

A．0 B．1 C．2 Ｄ．３

答案：B

解析：在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有唯一一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若$\varnothing\subsetneqq A$ ，则$A≠\varnothing$，故④正确。故选B。