一、真子集的定义和集合子集的个数

1、真子集：如果集合$A\subseteq B$，但存在元素$x∈B$，且$x\notin A$，则称集合$A$是集合$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq A$）。

2、子集：一般地，对于两个集合$A$，$B$，如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合$A$为集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$），读作“$A$含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。

3、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集，任何一个集合是它本身的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等：如果集合$A$是集合$B$的子集（$A\subseteq B$），且集合$B$是集合$A$的子集$（B\subseteq A）$，此时，集合$A$与集合$B$中的元素是一样的，因此，集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。

5、集合子集的个数

（1）若集合$A$中有$n$个元素，则集合$A$有$2^n$个子集，$2^n-1$个真子集，$2^n-1$个非空子集，$2^n-2$个非空真子集。

（2）若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素，集合$C$含有$m（m≥1）$个元素$（m≥n）$，且$A\subseteq B\subseteq C$，则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、真子集的相关例题

已知集合$A={x|x=4n+1,n∈\mathbf{Z}}$，$ B={x|x=4n-3$，$n∈\mathbf{Z}}$，$C={x=8n+1$，$n∈\mathbf{Z}}$，则$A$，$ B$，$ C$的关系是___

A．$C$是$B$的真子集、$B$是$A$的真子集

B．$A$是$B$的真子集、$B$是$C$的真子集

C．$C$是$A$的真子集、$A=B$

D．$A=B=C$

答案：C

解析：$∵A={x|x=4n+1$，$n∈\mathbf{Z}}$，$B={x|x=4n-3=4(n-1)+1$，$n∈\mathbf{Z}}$，$∴A=B$；

故排除选项A，B；

又$∵5∈A$，$5\notin C$，

∴排除D，

故选C。