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真子集的定义和集合子集的个数

时间:2021-02-28作者:残血狂魔一键复制全文保存为WORD
专题:

一、真子集的定义和集合子集的个数

1、真子集:如果集合$A\subseteq B$,但存在元素$x∈B$,且$x\notin A$,则称集合$A$是集合$B$的真子集,记作$A\subsetneqq B$(或$B\supsetneqq A$)。

2、子集:一般地,对于两个集合$A$,$B$,如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合$A$为集合$B$的子集,记作$A\subseteq B$(或$B\supseteq A$),读作“$A$含于$B$”(或“$B$包含$A$”)。

3、空集:不含任何元素的集合叫空集,记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集,任何一个集合是它本身的子集,空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等:如果集合$A$是集合$B$的子集($A\subseteq B$),且集合$B$是集合$A$的子集$(B\subseteq A)$,此时,集合$A$与集合$B$中的元素是一样的,因此,集合$A$与集合$B$相等,记作$A=B$。

5、集合子集的个数

(1)若集合$A$中有$n$个元素,则集合$A$有$2^n$个子集,$2^n-1$个真子集,$2^n-1$个非空子集,$2^n-2$个非空真子集。

(2)若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素,集合$C$含有$m(m≥1)$个元素$(m≥n)$,且$A\subseteq B\subseteq C$,则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、真子集的相关例题

已知集合$A={x|x=4n+1,n∈\mathbf{Z}}$,$ B={x|x=4n-3$,$n∈\mathbf{Z}}$,$C={x=8n+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,则$A$,$ B$,$ C$的关系是___

A.$C$是$B$的真子集、$B$是$A$的真子集

B.$A$是$B$的真子集、$B$是$C$的真子集

C.$C$是$A$的真子集、$A=B$

D.$A=B=C$

答案:C

解析:$∵A={x|x=4n+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,$B={x|x=4n-3=4(n-1)+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,$∴A=B$;

故排除选项A,B;

又$∵5∈A$,$5\notin C$,

∴排除D,

故选C。

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