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一、绝对值不等式的定理和性质
1、绝对值三角不等式
定理1:如果$a,b$是实数,则$|a+b|≤|a|+|b|$,当且仅当$ab≥0$时等号成立。
性质:① $|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|$。$\quad\quad\ \ \ $② $|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|$。$\quad\quad\ \ \ $③ 当$ab≥0$时,$|a+b|=|a|+|b|$;当$ab≤0$时,$|a-b|=|a|+|b|$。
定理2:如果$a$,$b$,$c$是实数,那么$|a-c|≤|a-b|+|b-c|$,当且仅当$(a-b)(b-c)≥0$时,等号成立。
2、不等式在高中常见的还有分式不等式、指数不等式、对数不等式和一元二次不等式
(1)分式不等式:与分式方程类似,像$\frac{f(x)}{g(x)}>0$或$\frac{f(x)}{g(x)}<0$(其中$f(x)、g(x)$为整式且$g(x)$不为0)这样,分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。
(2)指数不等式:像这样($a^x>b^x$)与指数函数有关的不等式即为指数不等式。
(3)对数不等式:像这样$(\log ^x_a>\log ^x_b)$与对数函数有关的不等式即为对数不等式。
(4)一元二次不等式:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。
二、绝对值不等式的相关例题
已知$|a-c|<|b|$,则____
A.$a<b+c$
B.$a>c-b$
C.$|a|>|b|-|c|$
D.$|a|<|b|+|c|$
答案:D
解析:因为$|a-c|≥|a|-|c|$,且$|a-c|<|b|$,所以$|a|-|c|<|b|$,即$|a|<|b|+|c|$。故选D。
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