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一、幂函数的概念和特征
1、幂函数的概念
一般地,函数$y=a^x$叫做幂函数,其中$x$为自变量,$a$为常数。
2、幂函数的特征
(1)解析式右边是一个幂;
(2)系数为1;
(3)底数是自变量;
(4)指数是常数。
3、幂函数的性质
(1)$y=x$
定义域为$\mathbf{R}$;值域为$\mathbf{R}$;奇函数;在$\mathbf{R}$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。
(2)$y=x^2$
定义域为$\mathbf{R}$;值域为$y\geqslant0$;偶函数;在$(-∞,0)$上单调递减,在$(0,+∞)$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。
(3)$y=x^3$
定义域为$\mathbf{R}$;值域为$\mathbf{R}$;奇函数;在$\mathbf{R}$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。
(4)$y=x^\frac{1}{2}$
定义域为$x\geqslant0$;值域为$y\geqslant0$;非奇非偶函数;在$(0,+∞)$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。
(5)$y=x^{-1}$
定义域为$x≠0$;值域为$y≠0$;奇函数;在$(-∞,0)$和$(0,+∞)$上单调递减;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。
二、幂函数的相关例题
已知幂函数$f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}(t∈\mathbf{N})$是偶函数,则实数$t$=____
A.0 B.-1或1
C.1 D.0或1
答案:C
解析:$∵f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}$是幂函数,∴$t^2-t+1=1$,即$t^2-t=0$,解得$t=0$或$t=1$。当$t=0$时,$f(x)=x^\frac{7}{5}$是奇函数,不满足题意;当$t=1$时,$f(x)=x^\frac{8}{5}$是偶函数,满足题意,故选C。
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