一、等比数列的定义和通项公式

1、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。

（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。

（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。

2、等比数列的通项公式

（1）通项公式

若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。

在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。

注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。

所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。

②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。

（2）等比数列中项的正负

对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。

3、等比中项

如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。

若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。

① 任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项。只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项。

② 两个数$a$，$b$的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个。

注：（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且等比中项有两个，它们互为相反数。（2）在等比数列${a_n}$中，从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项，即$a^2_n=a{n+1}a{n-1}(n\geqslant2，n∈\mathbf{N}^*)$。

4、等比数列与函数的关系

等比数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$可以改写为$a_n=\frac{a_1}{q}·q^n$，当$q>0$且$q≠1$时，等比数列$\{a_n\}$的图象是指数型函数$y=\frac{a_1}{q}·q^x$的图象上一些孤立的点。

（1）当$\begin{cases}a_1>0,\\q>1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0,\\0<q<1\end{cases}$时，等比数列$\{a_n\}$为递增数列；

（2）当$\begin{cases}a_1>0,\\0<q<1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0,\\q>1\end{cases}$时，等比数列$\{a_n\}$为递减数列；

（3）当$q=1$时，等比数列$\{a_n\}$为常数列（这个常数列中各项均不等于0）；

（4）当$q<0$时，等比数列$\{a_n\}$为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，奇数项与偶数项异号）。

5、等比数列的性质

设${a_n}$是公比为$q$的等比数列，那么

（1）数列${a_n}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n=a_2a{n-1}=a_3a{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

（2）若$m$，$n$，$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列，则$a_m$，$a_n$，$a_p$成等比数列，即$a^2_n=a_ma_p$。

（3）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地，若$m+n=2p$，则$a_ma_n=a^2_p$。

（4）数列${λa_n}$（$λ$为不等于0的常数）仍是公比为$q$的等比数列；

数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列；

数列${|a_n|}$是公比为$|q|$的等比数列；

若数列${b_n}$是公比为$q^′$的等比数列，则数列${a_n·b_n}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

（5）当数列${a_n}$是各项都为正数的等比数列时，数列${\lg a_n}$是公差为$\lg q$的等差数列。

（6）在数列${a_n}$中，连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列（相邻$k$项的和都不为0）。

（7）在数列${a_n}$中，每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为$q^{k+1}$。

二、等比数列的相关例题

已知等比数列${a_n}$满足：$a_2=2$，$a_5=\frac{1}{4}$，则公比$q=$___

A．$-\frac{1}{2}$ B．$\frac{1}{2}$ C．$-2$ D．$2$

答案：B

解析：∵等比数列${a_n}$满足$a_2=2$，$a_5=\frac{1}{4}$，∴$2q^3=\frac{1}{4}$，解得$q=\frac{1}{2}$，故选B。