一、等差数列的前$n$项和公式和与函数的关系

1、等差数列的前$n$项和公式

（1）等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则其前$n$项和为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$。

①等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$与梯形的面积公式$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$类似，这里的“上底”是$a_1$，“下底”是$a_n$，“高”是项数$n$。

②$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$公式中涉及的量有区别，应根据已知条件零活选用。

（2）已知$S_n$，可以求得$a_n=\begin{cases}S_1,n=1,\\S_n-S_{n-1},n\geqslant2,\end{cases}$同时要检验$a_1$是否满足$a_n(n\geqslant2)$的表达式。若满足，则可以合并；若不满足，则要写成分段形式。

2、等差数列的前$n$项和公式与函数的关系

公式$S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$可进一步变形为$S_n=na_1+\frac{n^2}{2}d-\frac{n}{2}d=$$\frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$。若令$A=\frac{d}{2}$，$B=a_1-\frac{d}{2}$，则有$S_n=An^2+Bn$。

（1）这是等差数列前$n$项和公式的另一种表达式。

（2）当$A≠0$，即$d≠0$时，该式是关于$n$的二次函数，即$(n,S_n)$在$y=Ax^2+Bx$的图象上。因此，当$d≠0$时，$(1,S_1)$，$(2,S_2)$，$(3,S_3)$，$\cdots$，$(n,S_n)$是抛物线$y=Ax^2+Bx$上的一群离散的点。因此，由二次函数的性质可得结论：当$d>0$时，$S_n$有最小值；当$d<0$时，$S_n$有最大值。

（3）$\frac{S_n}{n}=\frac{d}{2}n+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)$是关于$n$的一次函数或常数。

3、等差数列前$n$项和的性质

若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，则

（1）数列$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$$(k∈\mathbf{N}^*)$是等差数列，且公差为$k^2d$。

（2）在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=m$，$S_m=n$，$m≠n$，则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

（3）在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=S_m$，$m≠n$，则$S_{m+n}=0$。

（4）数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{S_n}{n} \end{Bmatrix}$为等差数列，首项为$\{a_n\}$的首顶，公差为$\frac{d}{2}$。

（5）若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$都为等差数列，$S_n$，$T_n$分别为它们的前$n$项和，则$\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

（6）若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_偶-S_奇=nd$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$（$a_n$为中间项），且$S_奇-S_偶=a_n$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$，$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差数列的前$n$项和的相关例题

记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_4=0$，$a_5=5$，则___

A．$a_n=2n-5$

B．$a_n=3n-10$

C．$S_n=2n^2-8n$

D．$S_n=\frac{1}{2}n^2-2n$

答案：A

解析：由已知可得$\begin{cases}S_4=4a_1+\frac{d}{2}×4×3=0,\\a_5=a_1+4d=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-3,\\d=2。\end{cases}$$∴a_n=2n-5$，故选A。