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等差数列的前n项和公式和与函数的关系

时间:2021-02-28作者:神峰一键复制全文保存为WORD
专题:

一、等差数列的前$n$项和公式和与函数的关系

1、等差数列的前$n$项和公式

(1)等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$,公差为$d$,则其前$n$项和为:$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$。

①等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$与梯形的面积公式$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$类似,这里的“上底”是$a_1$,“下底”是$a_n$,“高”是项数$n$。

②$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$公式中涉及的量有区别,应根据已知条件零活选用。

(2)已知$S_n$,可以求得$a_n=\begin{cases}S_1,n=1,\\S_n-S_{n-1},n\geqslant2,\end{cases}$同时要检验$a_1$是否满足$a_n(n\geqslant2)$的表达式。若满足,则可以合并;若不满足,则要写成分段形式。

2、等差数列的前$n$项和公式与函数的关系

公式$S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$可进一步变形为$S_n=na_1+\frac{n^2}{2}d-\frac{n}{2}d=$$\frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$。若令$A=\frac{d}{2}$,$B=a_1-\frac{d}{2}$,则有$S_n=An^2+Bn$。

(1)这是等差数列前$n$项和公式的另一种表达式。

(2)当$A≠0$,即$d≠0$时,该式是关于$n$的二次函数,即$(n,S_n)$在$y=Ax^2+Bx$的图象上。因此,当$d≠0$时,$(1,S_1)$,$(2,S_2)$,$(3,S_3)$,$\cdots$,$(n,S_n)$是抛物线$y=Ax^2+Bx$上的一群离散的点。因此,由二次函数的性质可得结论:当$d>0$时,$S_n$有最小值;当$d<0$时,$S_n$有最大值。

(3)$\frac{S_n}{n}=\frac{d}{2}n+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)$是关于$n$的一次函数或常数。

3、等差数列前$n$项和的性质

若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$,前$n$项和为$S_n$,则

(1)数列$S_k$,$S_{2k}-S_k$,$S_{3k}-S_{2k}$,$\cdots$$(k∈\mathbf{N}^*)$是等差数列,且公差为$k^2d$。

(2)在等差数列$\{a_n\}$中,若$S_n=m$,$S_m=n$,$m≠n$,则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

(3)在等差数列$\{a_n\}$中,若$S_n=S_m$,$m≠n$,则$S_{m+n}=0$。

(4)数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{S_n}{n} \end{Bmatrix}$为等差数列,首项为$\{a_n\}$的首顶,公差为$\frac{d}{2}$。

(5)若$\{a_n\}$,$\{b_n\}$都为等差数列,$S_n$,$T_n$分别为它们的前$n$项和,则$\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

(6)若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$,则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$,且$S_偶-S_奇=nd$,$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$,则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$($a_n$为中间项),且$S_奇-S_偶=a_n$,$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$,$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差数列的前$n$项和的相关例题

记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_4=0$,$a_5=5$,则___

A.$a_n=2n-5$

B.$a_n=3n-10$

C.$S_n=2n^2-8n$

D.$S_n=\frac{1}{2}n^2-2n$

答案:A

解析:由已知可得$\begin{cases}S_4=4a_1+\frac{d}{2}×4×3=0,\\a_5=a_1+4d=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-3,\\d=2。\end{cases}$$∴a_n=2n-5$,故选A。

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