一、等差数列前$n$项和的性质

若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前$n$项和为$S_n$，则

（1）数列$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$$(k∈\mathbf{N}^*)$是等差数列，且公差为$k^2d$。

（2）在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=m$，$S_m=n$，$m≠n$，则有$S_{m+n}=-(m+n)$。

（3）在等差数列$\{a_n\}$中，若$S_n=S_m$，$m≠n$，则$S_{m+n}=0$。

（4）数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{S_n}{n} \end{Bmatrix}$为等差数列，首项为$\{a_n\}$的首项，公差为$\frac{d}{2}$。

（5）若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$都为等差数列，$S_n$，$T_n$分别为它们的前$n$项和，则$\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}$。

（6）若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_偶-S_奇=nd$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$（$a_n$为中间项），且$S_奇-S_偶=a_n$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$，$S_偶=(n-1)a_n$)。

二、等差数列前$n$项和的性质的相关例题

已知等差数列${a_n}$中$S_9=18$，$S_n=240$，$a_{n-4}=30(n>9)$，则项数$n$为____

A．10 B．14 C．15 D．17

答案：C

解析：因为$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=$$9a_5=18$，所以$a_5=2$，所以$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=$$\frac{n(a_5+a_{n-4})}{2}=$$\frac{n(2+30)}{2}=$$16n=240$，解得$n=15$，故选C。