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余弦定理的定义和常见变形

时间:2021-02-28作者:公主一键复制全文保存为WORD
专题:

一、余弦定理的定义和常见变形

1、余弦定理

三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即$a^2=$$b^2+$$c^2-$$2bc\cos A$,$b^2=$$c^2+$$a^2-$$2ca\cos B$,$c^2=$$a^2+$$b^2-$$2ab\cos C$,

2、余弦定理的常见变形

(1)$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;

(2)$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$;

(3)$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

3、利用余弦定理可以解决的问题

(1)已知三边,求各角;

(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两个角;

(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边。

二、余弦定理的相关例题

在$△ABC$中,$\cos C=\frac{2}{3}$,$AC=4$,$BC=3$,则$\cos B=$___

A.$\frac{1}{9}$ B.$\frac{1}{3}$ C.$\frac{1}{2}$ D.$\frac{2}{3}$

答案:A

解析:由余弦定理知$AB^2=$$AC^2+$$BC^2-$$2AC·BC·\cos C=$$4^2+$$3^2-$$2×$$4×$$3×$$\frac{2}{3}=9$,所以$AB=3$,所以$\cos B=\frac{3^2+3^2-4^2}{2×3×3}=$$\frac{1}{9}$。故选A。

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