arctanx的导数是1/(1+x^2)。[arctan(1/x)]' =1/[1+(1/x)^2]*(1/x)' =[x^2/(1+x^2)]*(-1/x^2) =-1/(1+x^2)。

反函数的导数与原函数的导数关系

设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）

反函数求导法则

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2