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若A、B、C三点共线,O为线外一点,则OB=aOA+bOC (OA、OB、OC为向量)中,a+b=1。若A、B、C、D三点共面,O为面外一点,则OB=aOA+bOC+cOD (OA、OB、OC为向量),a+b+c=1。
设A、B、C三点共线,O是平面内任一点。
因为A、B、C共线,所以存在非零实数k,使AB=kAC
即OB-OA=k(OC-OA)
所以OB=kOC+(1-k)OA
[注:两个系数和k+1-k=1]
反之,若存在实数x,y满足x+y=1,且OA=xOB+yOC
则OA=xOB+(1-x)OC
OA-OC=x(OB-OC)
所以CA=xCB
因此,向量CA与CB共线,
又由于CA、CB有公共点C,
所以,A、B、C三点共线。
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