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高中函数的最大值和最小值怎么求

时间:2020-11-25作者:小天一键复制全文保存为WORD
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一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说,最小值即定义域中函数值的最小值,最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大(小)值的几何意义——函数图像的最高(低)点的纵坐标即为该函数的最大(小)值。

常见的求最值方法

1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性,再求最值。

4、利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值。还有三角换元法,参数换元法。

6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。求利用直线的斜率公式求形如的最值。

7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。

函数的最值问题

对函数f:A->R,若存在aEA,使对所有xEA,有fix)<f}a),则f称为在A上存在最大值(严格最大值),或f在a处达到最大值(严格最大值)f(a),a是f的最大值点(严格最大值点)。若上述不等号反向,则得到最小值与严格最小值的定义。最大值、最小值统称绝对极值或整体极值。函数的最大(小)值如果存在,必是惟一的,但相应的最大(小)值点不一定惟一在R”的有界闭集上连续的函数必有最大值与最小值。这是判断一个函数是否有绝对极值的主要依据。

为了求最大、最小值,基本的方法是:先确定它们的存在性,然后比较函数在驻点,定义域端点或边界点、不可微点处的函数值,其中最大(小)的就是最大(小)值。在许多应用问题中,最大值与最小值的存在性往往可以由具体问题的背景确定。

最早用微分学方法求最大、最小值的是费马。他发现了称为费马定理的极值必要条件(不是现在的形式),并认定函数在驻点达到最大或最小值。极值问题一直是数学家关心的问题,有几个数学学科研究更复杂的极值问题,例如凸分析、数学规划、变分学等。

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