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一、零点的定义与判定定理
1、函数零点的定义:对于函数 $y=f(x)$,我们把使$f(x)=0$的实数$x$叫做函数$y=f(x)$的零点。
2、函数零点的意义:函数$y=f(x)$的零点就是方程$f(x)=0$的实数根,也就是函数$y=f(x)$的图象与$x$ 轴交点的横坐标。
3、函数零点的分类
(1) 变号零点:零点附近两侧的函数值异号
(2) 不变号零点:零点附近两侧的函数值同号
4、函数零点存在性定理:一般地,如果函数$y=f(x)$在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有$f(a) \cdot f(b)<0$,那么,函数$y=f(x)$在区间(a,b)内有零点,即存在$c \in (a,b)$,使得$f(c)=0$,这个$c$也就是方程$f(x)=0$的根。
5、判断函数零点个数的常用方法
(1) 解方程$f(x)=0$,方程$f(x)=0$的不同解的个数就是函数$f(x)$零点的个数。
(2) 直接作出函数$f(x)$的图象,其图象与$x$轴交点的个数就是函数$f(x)$的零点的个数。
(3) 化函数的零点个数问题为方程$g(x)=h(x)$的解的个数问题,在同一坐标系下作出$y=g(x)$和$y=h(x)$的图象,两函数图象的交点个数就是函数$f(X)$的零点的个数。
(4) 若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在性定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调。
二、零点的定义相关例题
判断函数$f(x)=x-3+ln ~x$的零点个数___
答案:只有一个零点
解析:令$x-3+ln~x=0$,则$ln~x$与$y=-x+3$的图像只有一个交点,即函数$f(x)=x-3+ln~x$只有一个零点。
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