一、函数的概念与三要素

1、函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系$f$，使对于集合 A 中的任意一个数$x$，在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么就称$f:A\to B$为从集合A到集合B的一个函数，计作$y=f(x)(x \in A)$，其中，$x$叫做自变量，$x$的取值范围A叫做函数的定义域；与$x$的值相对应的$y$值叫做函数值，函数值的集合$\{f(x) \mid x \in A \}$叫做函数的值域。显然，$\{f(x) \mid x \in A\}\subseteq B$.

2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系

3、函数相等的定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

4、函数的表示方法

（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法。

二、函数的概念相关例题

试判断以下各组函数是否表示同一函数：

(1) $f(x)=\sqrt{x^2}，g(x)=\sqrt[3]{x^3}$；

(2) $f(x)=(\sqrt{x})^2，g(x)=\sqrt{x^2}$；

(3) $y=x^0与y=1(x\not=0)$；

(4) $y=2x+1，x \in Z 与 y=2x-1，x \in Z$.

答案：

(1) 不表示同一函数

(2) 不表示同一函数

(3) 表示同一函数

(4) 不表示同一函数

解析：

(1) 由于$f(x)=\sqrt{x^2}= \left\vert x \right\vert，g(x)=\sqrt[3]{x^3}=x$，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数.

(2) 由于函数$f(x)=(\sqrt{x})^2$的定义域为$\{x \mid x \ge 0 \}$，而$g(x)=\sqrt{x^2}$的定义域为$\{ x \mid x \in R \}$，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数.

(3) 由于$y=x^0$要求$x\not=0$，且$x\not=0$时，$y=x^0=1$，故$y=x^0$与$y=1(x\not=0)$的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数.

(4) $y=2x+1,x \in Z与y=2x-1,x \in Z$两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数.