复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。例如，函数y=cosx²，其复合过程为：y=cosu，u=x²。

关于函数的复合运算

复合函数，是按一定次序把有限个函数合成得到的函数，对两个函数f：A关于函数的复合运算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数，记为g·f。这样，g·f是A到C的函数，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，记号“·”表示两个函数的复合，它是二元运算.这个运算不满足交换律，即一般来说g·f≠f·g，但它满足结合律：对f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定义h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。

一般地，对n+1个满足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函数fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定义n重复合函数fn+1·fn·…·f1，任给两个函数f：A→B，g：C→D，当且仅当f(A)⊆C时可以得到复合函数g·f：A→D；当且仅当g(C)⊆A时可以得到f·g：C→B，当函数用变量表示为t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含于g的定义域时，称t为复合函数y=g(f(x))的中间变量，函数的复合是研究函数的一种工具，一方面它提供了构造各式各样的新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合(求函数的导数时常这样做)。

指出下列函数复合过程

1.y=cosx²

2.y=sin^5x

3.y=e^cos3x

4.y=ln[arctan√(1+x²)]

参考答案

1、y=cosu,u=x²;

2、y=sinu,u=5x;

3、y=e^u,u=cosv,v=3x;

4、y=lnu,u=arctanv,v=√t,t=1+x².