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复合函数奇偶性口诀:外奇内奇为奇,外奇内偶为偶,外偶内奇为偶,外偶内偶为偶。
怎么判断复合函数奇偶性
记F(x)=f[g(x)]为复合函数,则F(-x)=f[g(-x)],
如果g(x)是奇函数,即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)],
则当f(x)是奇函数时,F(-x)=-f[g(x)]=-F(x),F(x)是奇函数;
当f(x)是偶函数时,F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数,即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x),F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数,当里层的函数是偶函数时,复合函数的偶函数,不论外层是怎样的函数;当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时,复合函数是奇函数,当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时,复合函数是偶函数。
复合函数的单调性判断
⑴求复合函数的定义域;
⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);
⑶判断每个常见函数的单调性;
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;
⑸求出复合函数的单调性。
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